Artikel: De Sterrentijd ofwel Sidreal Time

Voor een korte uitleg van het begrip Sterrentijd, verwijs ik naar afb.1 hieronder. Stelt u zich voor dat de Aarde zich in een baan om de Zon heen beweegt. Op zich niets vreemd, dit is de realiteit.

De verhoudingen in de tekening zijn met opzet veranderd om het verhaal beter tot zijn recht te laten komen.

De baan van de Aarde om de Zon is aangegeven met een kromme pijl. Op een bepaalde dag staat de Aarde in positie “A”. Iemand kijkt vanuit een punt “P” naar een ver afgelegen Vaste Ster.

Een dag later is de Aarde aangekomen in positie “B”. De waarnemer kijkt op precies dezelfde plaats weer naar de Vaste Ster in punt “P”.

De tijd, die de Aarde nodig had om precies 1 maal rond zijn as te draaien is de Sterrentijd. Deze bedraagt 23 uur 56 minuten en 3,45 seconden.

De waarnemer in positie “B” die zojuist de Vaste Ster in punt “P” observeerde, zal een kleine tijd later de Zon kunnen observeren in punt P’. De Aarde is dan een klein beetje verder gedraaid om zijn as, waardoor punt “P” is doorgedraaid naar punt P’. Dit punt P’ wordt vanaf P ongeveer 3 minuten en 56,55 seconden later bereikt.

In de astronomie wordt voor de vaststelling van de sterrentijd niet naar een ver weg liggende Vaste Ster gekeken, maar naar de passage van het lentepunt over de meridiaan “P”. Het grappige is dat het lentepunt in de hemel als zodanig niet waarneembaar is. De stand van de Zon is dat echter wel en de precieze lengte van de Zon is tevens de afstand vanaf datzelfde lentepunt. Herinner dat het lentepunt hetzelfde is als het punt NUL graden Ram. Vanaf hier worden alle hemellichamen in lengte bepaald.

De meridiaan “P” is de positie van een waarnemingspunt “P” op Aarde, precies gericht op het Zuiden.

Per definitie geldt : bij de passage van het lentepunt over de meridiaan is de sterrentijd altijd precies 0^h00^m00^s.

De sterrentijd zegt dus iets over de tijd die is verstreken sinds de passage van het lentepunt over de meridiaan. En die meridiaan kan elke plaats op Aarde zijn, zoals uw geboorteplaats.

Als bijvoorbeeld de sterrentijd in uw horoskoop precies 2.00.00 uur is, dan wil dit zeggen dat het lentepunt 2 uur geleden over het exacte Zuiden is gegaan, richting het Westen.

U kijkt als het ware naar het Zuiden vanuit uw waarnemingsplaats. Pal op het Zuiden stond 2 uur geleden het lentepunt, aangegeven door . De grote pijl geeft de draaiing van de Aarde aan, richting het Oosten. Door deze draairichting lijkt alles naar het Westen te draaien en bij het Westen onder te gaan. U ziet het lentepunt dus al in een boog naar het Westen toe draaien. Als de Aarde nog 4 uur verder is gedraaid, dan zou het lentepunt pal in het Westen onder de horizon verdwijnen. De “klok” van iedere horoskoop wordt aangegeven door de Sterrentijd. Die bepaalt waar het punt zich bevindt, maar tevens bepaalt die klok het exacte Zuiden (het MC). Het is dan verder afhankelijk van de breedte van de plaats waar de Ascendant komt te liggen en alle andere huizen, maar dit is een ander verhaal.

Een sterrendag is de tijd, die de Aarde nodig heeft om precies 1 maal om zijn as te draaien (23^h56^m3,45^s). Een sterrendag is dus net iets korter dan een gewone (middelbare) zonnedag.

Een (middelbare) zonnedag is de tijd die de Aarde nodig heeft om een waarnemer de Zon steeds weer in punt P’ te laten waarnemen.

De dagen in de efemeriden zijn middelbare zonnedagen van precies 24 uur. In 1 middelbare zonnedag is de Aarde eenmaal om zijn as gedraaid plus nog een klein beetje van P naar P’. In de kolom Sterrentijd (Sidereal Time) ziet u voor elke volgende dag de Sterrentijd (hierna ST genoemd) genoteerd staan. Als u eens narekent hoeveel de ST per dag toeneemt, dan komt u op vrijwel dezelfde waarde uit als ik eerder genoemd heb: 3^m56,555^s. In Sagittarius-1999 nr.3 heb ik voor de maand mei 17 keer 3^m57^s geteld en 13 keer 3^m56^s.Dit levert een gemiddelde op van 3^m56,5666^s en dit is vrijwel precies de waarde die het moet zijn.

Het is juist interessant om nu zelf de waarde van de ST te berekenen voor een willekeurige dag en tijd. Hiermee kunt u dan de huizen van de horoskoop zonder huizentabel berekenen (indien u ook de formules heeft voor de Placidus huizenberekening).

Mean Sidereal Time, MST = 99,6909833^o + 36000,7689^oT + 0,00038708^o T²

De formule geeft de ST in graden bij een gegeven waarde van T (de Juliaanse Eeuw). T moet gebaseerd zijn op de UT en niet op de ET! De Sterrentijd in uren krijgt u door de uitkomst te delen door 15.

Wij zullen de formule met een voorbeeld uittesten. Ik gebruik de Complete Planetary Ephemeris bij dit voorbeeld die de ST tot op 0,1 seconde precies weergeeft.

De uitkomst delen door 15 om het aantal uren te krijgen. Dit geeft 1899,450367 uren. Dit is eigenlijk al de ST, maar die moet u nog omzetten tussen nul en 24 uur. Daarom deelt u de uitkomst door 24.

Dit zijn dus 79 hele dagen. Die haalt u weg. Er blijft dan over: 0,14376529 dag. Vervolgens vermenigvuldigt u dit met 24 en u krijgt :

Er is echter nog een toevoeging nodig op de MST om de werkelijke ST te krijgen. Ook hier moeten wij rekening houden met de nutatie in lengte, waarover in de vorige aflevering al het nodige is geschreven. Onder invloed van de nutatie krijgt de aardas een duw- en trekbeweging te verwerken, die voornamelijk door de Zon en Maan wordt beïnvloed.

Ik herhaal hier nog even de formule van de twee belangrijkste termen, die afhankelijk zijn van de lengte van de Draconis:

NUT (lengte) = -17,23" x sin(DR) + 0,21"x sin(2 x DR)

Wij moeten dus de Draconis berekenen, zoals in deel-3 is uitgelegd. Hierna kunnen wij bovenstaande formule uitrekenen.

Ik herinner er nogmaals aan dat er hier slechts 2 termen zijn gegeven voor de berekening van de nutatie. Alle andere termen moeten eigenlijk ook worden berekend.

De uiteindelijke ST (ook wel Apparent Sidereal Time genoemd) wordt gegeven door de volgende formule:

ST_APP = MST + NUT x cos(ecliptica)/15

Hierbij moet dus ook de ecliptica worden berekend, volgens de formules in Deel-2 van deze serie.

Dit resultaat kon alleen maar bereikt worden, omdat de nutatie van -3,373” zo precies gegeven werd.

Had u in plaats hiervan de (veel onnauwkeuriger) waarde -1,90” gebruikt, dan was de AST als volgt geweest:

De afwijking bedraagt dan 0,1 seconde in Sterretijd, toch nog redelijk in de buurt van de werkelijke waarde.

U mag de nutatie in lengte nooit vergeten, want de aardas staat nu eenmaal onder invloed van Zon, Maan en planeten, die er allemaal hun aantrekkingskracht op uitoefenen.

In Sagittarius wordt elke keer een bladzijde van de Compact American Ephemeris afgedrukt. Hierop vindt u de AST terug, echter op de hele seconde afgerond. Dat is jammer, want als u weet dat elke seconde sterrentijd ca. 15 boogseconden in de huizenpositie uitmaakt, dan kunt u uw conclusies trekken.

Bij een snelrijzende Ascendant (Vissen op onze Noorderbreedte) kan 1 seconde sterrentijd zelfs 40 boogseconden uitmaken in de Ascendantsgraad.

Een afwijking van 0,1 seconde sterrentijd is dan altijd nog 4 boogseconden in de Ascendant!!

Wij moeten dus naar iets beters toe. Niet van mij hoor! Ik bedoel eigenlijk dat de astronomie iets beters kan bieden.

De tot nu toe gebruikte formule voor de Mean Sidereal Time is te vinden in het Explanatory Supplement¹.

Tijdens mijn onderzoek naar de nutatie stuitte ik per toeval op een artikel van P. Bretagnon², waarin een uitzonderlijk precieze formule voor de sterrentijd werd gegeven. Deze treft u hieronder aan. GMST staat voor Greenwich Mean Sidereal Time.

GMST (0^h) = 24110,54841^s + 86 401 847,928 601^s t + 9,313 216^s t² - 0,000 288^s t³

- 0,019 514^s t⁴ + 0,000 123^s t⁵ + 0,000 017^s t⁶

De formule heeft als epoch J2000 en de waarde van “t” is het aantal duizenden Juliaanse jaren vanaf J2000. “t” kunt u berekenen door T te delen door 10.

Let op! De uiteindelijke uitkomst van deze formule is de ST voor nul uur ‘s nachts. Hierbij moet u dan nog de UT (GMT) bij optellen en klaar bent u. In de formule zit de acceleratie van de ST er al in.

De formule is zo precies dat deze wordt gegeven in seconden sterrentijd. Omzetting naar graden leidt onherroepelijk tot verlies aan nauwkeurigheid.

Het rekenen met deze formule kan met de meeste rekenapparaten al niet meer gebeuren, omdat deze het aantal cijfers in het display niet kunnen herbergen. Computerprogramma’s werken met variabelen, die in de uitgebreide precisie 18 cijfers achter de komma kunnen onthouden, dus deze formule kan zonder problemen worden gebruikt in een programma. Wij zullen een tweetal voorbeelden uitwerken, zodat u de uitkomsten kunt controleren.

Het eerste voorbeeld is het makkelijkst. Wij berekenen de Mean Sidereal Time op 1 jan. 2000 om 12^h UT (GMT). Dit is het begin van de nieuwe Epoch, zoals uitgebreid in deel-1 van deze serie is uitgelegd.

In de formule hierboven zijn alle termen met “t” erin gelijk aan nul, dus dat is makkelijk. Er blijft dan alleen 24110,54841 sec. over voor de GMST

Wij delen dit door 3600 (3600 seconden in 1 uur) en wij krijgen dan 6,697374558 uur en dit is meteen onze uitkomst.

De uitkomst is gelijk aan 6^h41^m50,5484^s. Hierbij telt u de UT op, die was 12^h precies.

Controle met een gewone nauwkeurige efemeride gaat niet meer, die is gewoon te onnauwkeurig als u begrijpt wat ik bedoel!

Ik controleer de uitkomsten met een programma dat ik via het Jet Propulsion Laboratory (JPL) in Massachusetts heb gekocht. Dit programma is een uiterst nauwkeurige astronomische efemeride, die je zelf voor elke willekeurige tijd kunt instellen tussen 1850 en 2050.

Een kleine listing uit dit programma is in onderstaande figuur opgenomen, zodat u de door dit programma genoteerde waarden van de Mean Sidereal Time kunt controleren.

Zoals u ziet, wijkt onze formule voor de GMST niet af van de waarden die via het JPL komen.

In de tabel ziet u ook een kolom Greenwich Apparent staan. Het is juist deze waarde die wij nodig hebben in ons astrologisch programma, want hierin is de nutatie verwerkt. Zoals eerder al vermeld, is de nutatie de ‘duw en trek’ aan de Aardas door Zon, Maan en planeten.

Om de nutatie uit te rekenen, heeft u eerst weer DR nodig. In deel-3 van deze serie is de waarde ervan al berekend. Deze is 125^o02’40,39816”=125,044555^o

18^h41^m50,5484^s. + (-14,30”) x 0,91748/15 = 18^h41^m50,5484^s. - 0,8747^s = 18^h41^m49,6737^s.

Ook hier hebben wij de sterk vereenvoudigde formule voor de nutatie gebruikt. Toevallig ligt deze in de buurt van de werkelijke waarde, die -13,968” bedraagt.

Als u met de werkelijke waarde had gewerkt, dan kreeg u ST_APP = GMST + NUTx cos(ec)/15 =

18^h41^m50,5484^s. + (-13,968”) x 0,91748/15 = 18^h41^m50,5484^s. - 0,8544^s = 18^h41^m49,6940^s

Hierbij ziet u alweer hoe belangrijk het is om een goede formule te hebben voor de nutatie. De nutatieproblematiek is niet gering, het benadert de problematiek van de planetenberekening. In de volgende aflevering ga ik uitgebreid in op de nutatieberekening.

De nutatie gooit hier dus eigenlijk roet in het eten, want de formule voor de GMST is zeer precies en zal veelal maximaal 0,001 seconde afwijken, maar meestal ook minder.

Wij zullen nu het tweede voorbeeld uitwerken en gebruiken weer dezelfde gegevens : 13 november 1978 0^h UT.

U ziet dat de waarden van t en hogere machten van “t” in 12 decimalen zijn gegeven. Hierbij moet ik eerlijkshalve zeggen dat de uitkomsten van de termen t³ t/m t⁶ nauwelijks meer bijdragen aan het resultaat, zoals u zelf later kunt zien.

Onze uitkomst verschilt in dit geval 0,0042 seconden met de tabel en wij zullen hiermee verder rekenen.

Om de sterrentijd voor de horoskoop te krijgen, moeten wij de ST_APP berekenen met behulp van de nutatie en de ecliptica. Deze gegevens hebben wij al berekend in de voorbeelden van de oude sterrentijdformule, helemaal aan het begin.

De door mij gegeven vereenvoudigde formule voor de nutatie leverde -1,90” op als nutatie.

3^h27^m01,3942^s + (-1,90”)x0,91746/15 = 3^h27^m01,3942^s - 0,12^s = 3^h27^m01,2742^s.

Het verschil tussen onze berekeningen en de tabel van het JPL bedraagt 0,0946 seconden en dit is eigenlijk te veel.

Gebruiken wij echter de vrijwel exacte waarde -3,373” als nutatie, dan wordt de ST_APP:

3^h27^m01,3942^s + (-3,373”)x0,91746/15 = 3^h27^m01,3942^s - 0,2063^s = 3^h27^m01,1879^s.

Wanneer wij deze waarde vergelijken met de tabel van het JPL, dan is het verschil teruggelopen tot 0,0083 seconden en hiermee zullen wij ons tevreden moeten stellen.

Allereerst moeten wij constateren dat de eerst gegeven formule voor de ST een redelijk goed resultaat geeft. Worden er geen extreem hoge eisen aan een computerprogramma gesteld, dan kan met een gerust hart de formule worden gebruikt. Ik heb de formule tenslotte zo’n 15 jaar lang gebruikt en de horoskopen waren altijd redelijk exact.

De nieuwe formule is een sterke verbetering. Wanneer wij de drie rekendatums gebruiken, nl. J1900, 13 nov. 1978 en J2000 en wij de resultaten met de oude- en nieuwe formule naast elkaar zetten en deze vergelijken met de tabellen van het JPL, dan kunnen wij onze conclusies trekken.

Gebruik van de nieuwe formule leidt vrijwel overal tot kleinere verschillen, dus een grotere nauwkeurigheid. Dit wordt beter, naarmate de datums dichter bij de nieuwe epoch J2000 liggen.

Globaal kan gesteld worden dat bij datums tussen 1950 en 2050, dus symmetrisch rond J2000, de verschillen tussen nul en 0,004 seconde zullen liggen.

Dit is een zeer aannemelijk resultaat en geen enkele astrologische efemeride zal dit ooit publiceren.

Dit betekent voor de berekening van de huizencupen een maximale fout in lengte van ca. 0,02 boogseconde bij normale snelheden van 1 graad per 4 minuten geboortetijd.

Bij een snelrijzende Ascendant (Vissen op onze breedtegraden) zal hiermee de maximale fout in lengte ca. 0,16 boogseconde zijn.

Hierbij moet ik aantekenen dat we tevens de nutatie onder ‘bedwang’ moeten zien te krijgen, omdat hiervan de sterrentijd voor de horoskoop van belang is.

I.         Explanatory Supplement to the Astronomical Ephemeris and the American Ephemeris - Nautical Almanac Office, 1977
      blz. 75;
II.       Bretagnon, P., et.al., “Theory of the rotation of the rigid Earth”, 1997, Astron.Astroph., 305-317;